Teoría Integrales

Integrales son la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Dada una función f(x) de una variable real «x» y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

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es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x=a y x=b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

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La palabra «integral» también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f.

En este caso se denomina integral indefinida, y se representa de la forma:

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INTEGRALES INMEDIATAS

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CON CAMBIO DE VARIABLE

Siempre que una integral se puede escribir de la forma:

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si hacemos el cambio t=u(x), la integral se transforma en:

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que puede ser más sencilla de resolver

INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método es útil en los casos donde el integrando se puede poner como el producto de una función por la diferencial de otra

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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es cualquier función que puede ser escrita como el cociente de dos polinomios.

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Propia: si el grado del polinomio divisor es mayor que el del dividendo.

Impropia: si el grado del polinomio dividendo es mayor o igual que el del divisor.

TEOREMA:

Toda función racional impropia se puede descomponer en la suma de un polinomio más una función racional propia.

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Por tanto, la integral de una función racional impropia se puede escribir:

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Para resolver la integral de una función racional propia se descompone la función en una suma de fracciones simples:

1) Se descompone el denominador en un producto de factores así:

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2) Se escribe entonces

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y se obtendrá entonces la siguiente expresión:

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3) Los coeficientes A, B,…,N, se determinan haciendo sucesivamente x = a, x = b, etc.

Por ejemplo:

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4) Obtenidos los coeficientes, se integra la expresión.

Caso en el que el polinomio Q(x) del denominador tiene raíces múltiples

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas. Hay que intentar sustituir expresiones trigonométricas por otras expresiones que pueden ser más simples de resolver.

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