Teoría Divisibilidad

Divisibilidad

 

La Divisibilidad es la propiedad de un número entero para poder dividirse por otro, dando como resultado un número entero.

Siendo a y b dos números enteros, diremos que “a” es múltiplo de “b” si hay un número entero “c”, tal que al multiplicarlo por “b” sea igual a “a”. Es decir, “a” es múltiplo de “b” si:

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Siendo “c” otro número entero.

El conjunto de todos los múltiplos de un número entero “a” se obtiene multiplicando “a” por cada número entero.

Ejemplo:

  • Escribimos el conjunto de los múltiplos de 6:
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  • El conjunto de los múltiplos de (-7):

 

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Del mismo modo, “b” es divisor de “a” si la división de “a” entre “b” es un número entero.

Si “a” es un número entero, siempre se cumple que 1 y -1 son divisores de “a”, pues las divisiones:

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son números enteros:

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El conjunto de divisores de un número entero “a” se simboliza por: Div(a), y en la práctica se obtiene calculando los divisores positivos de “a” y añadiendo sus respectivos opuestos.

Ejemplo:

  • Escribimos el conjunto de los divisores de -18:
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Criterios de divisibilidad:

  • Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.
  • Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
  • Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4.
  • Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.
  • Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.
  • Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.
  • Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8.
  • Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
  • Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
  • Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
  • Un número es divisible por 13 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.
  • Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17.
  • Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19.
  • Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25.
  • Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125.

Descomposición de un número entero en factores primos:

Un número entero es primo si sus únicos divisores son él mismo, la unidad y sus respectivos opuestos.

Ejemplo:

  • Comprobamos que 13 es un número primo:
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Se llama descomposición en factores primos de un número entero al proceso que permite escribir dicho número como un producto cuyos factores son números primos.

En la práctica, para descomponer un número entro positivo en factores primos, se escribe éste y, a la derecha, el primer número primo mayor por uno por el que es divisible. Se efectúa la división y se escribe el cociente a la izquierda, debajo del número inicial. Estos pasos se repiten hasta que el cociente obtenido sea 1.

 

Ejemplo:

  • Descomponemos el número entero 180 en factores primos:
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Para descomponer un número entero negativo en factores primos, se prescinde del signo menos y se multiplica por -1 la descomposición obtenida.

 

Máximo Común Divisor de dos o más números enteros.

Llamaremos máximo común divisor de a y b y lo representaremos por M.C.D. (a, b) al mayor de los divisores comunes de a y b.

Si el M.C.D. (a, b) es 1, se dice que los números a y b son primos entre sí.

Para hallar el M.C.D (a, b) se debe de proceder de la siguiente manera:

  • Si alguno de ellos es negativo, se prescinde de su signo.
  • Se realiza la descomposición en factores primos de cada uno de los números obtenidos en el apartado anterior.
  • El máximo común divisor es el producto de los factores primos comunes elevado, cada uno de ellos, al menor exponente.

Ejemplo:

Calculamos el máximo común divisor de 1800 y 990: Descomponemos ambos números en factores primos:

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Mínimo Común Múltiplo de dos o más números enteros.

Llamaremos mínimo común múltiplo de “a” y “b” y lo representaremos como m.c.m. (a, b) al menor de los múltiplos positivos comunes de a y b.

Para hallar el m.c.m. (a, b) hay que proceder de la siguiente manera:

  • Si alguno de ellos es negativo, se prescinde de su signo.
  • Se realiza la descomposición en factores primos de cada uno de los números obtenidos en el apartado anterior.
  • El mínimo común múltiplo es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevado, cada uno de ellos, al mayor exponente.

 

Ejemplo:

  • Calculamos el mínimo común múltiplo de 600 y 495: Descomponemos ambos números en factores primos:
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