Teoría Sistemas de Ecuaciones II

Teoría Sistema de Ecuaciones

 

Esta teoría es la continuación del post anterior “Teoría Sistemas de Ecuaciones”

 

Método de Gauss:

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior (o inferior). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y más fácil para resolver:

 

Es un método similar al método de reducción, ya que se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

 

Ejemplo:

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Formamos la matriz ampliada del sistema:

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Si a la segunda y tercera fila le restamos la primera, obtenemos:

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Si ahora intercambiamos la segunda fila por la tercera, obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

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Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones siguiente:

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Despejamos la tercera ecuación y vemos que:

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Sustituimos en la segunda ecuación el valor de z obtenido y obtenemos el valor de la incógnita “y”:

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Sustituimos los valores en la primera ecuación y obtenemos todas las incógnitas:

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Método de La Matriz Inversa:

Es un proceso similar al Método de Gauss, ya que se escribe el sistema en forma matricial:

A · X = B

Si A-1 existe, es decir, si A es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por A-1 para obtener:

 

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que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes A y matriz de términos independientes B, la cual ya se resuelve siguiendo los pasos del método de Gauss.

 
 

Regla de Cramer:

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz A de coeficientes del sistema es cuadrada (igual número de incógnitas y número de ecuaciones) y de determinante no nulo.

Cuando el sistema de ecuaciones satisface las condiciones mencionadas, su solución viene dada por:

 

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Ejemplo:

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Podemos aplicar la regla de Cramer para su resolución:

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SOLUCIÓN:

X= 1; y= 1

 

 

 

 

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