Sucesiones

Una sucesión es una secuencia ordenada de números, como por ejemplo:

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Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N (conjunto de los números naturales excluido el cero) en el conjunto R de los números reales. 

  Se llama término de una sucesión a cada uno de los elementos que constituyen la sucesión. Para representar los diferentes términos de una sucesión se usa una misma letra con distintos subíndices, los cuales indican el lugar que ocupa ese término en la sucesión. 

Por ejemplo: 

  • En la sucesión: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… tenemos que: a5 = 5, ya que es el término de la sucesión que ocupa el quinto lugar. 
  • En la sucesión: b) 2, 4, 6, 8 , 10,… el tercer término se denotaría b3 y correspondería al valor 6. 

   Lo realmente importante a la hora de nombrar los términos de una sucesión es el subíndice porque denota el lugar que ocupa en la sucesión. Las letras con las que se designa la sucesión son distintas para sucesiones distintas y suelen ser letras minúsculas. 

   Se llama término general de una sucesión al término que ocupa el lugar n-ésimo y se escribe con la letra que denote a la sucesión (por ejemplo a) con subíndice n:(an).

Si nos centramos en los valores que toman los subíndices, vemos que son números naturales, pero los términos de la sucesión no tienen por qué serlo, es decir, los valores que toma la sucesión son números reales. Por eso, podemos afirmar que una sucesión de número reales es una aplicación que hace corresponder a cada número natural un número real. 

Formas de definir una sucesión

  • Dando su término general: Una sucesión tiene infinitos términos y se expresa frecuentemente por su término general an, que dado que an es una función que depende de n, basta con dar valores naturales a la indeterminada n para obtener cualquier término de la sucesión.
    Ej: la sucesión tiene por término general: 

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    Podemos formar los términos de la sucesión dando sucesivamente a “n” los valores 1, 2, 3…, teniendo así por tanto: 

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  • Dando una propiedad que cumplan los términos de esa sucesión: Si aseguramos una propiedad que cumple la sucesión, es más fácil saber el valor de an. 
    – Ej: gracias a la siguientes propiedades, obtén las sucesiones: 

    1. Sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, …
    2. Sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, …
    3. Sucesión de los números naturales acabados en 9: 9, 19, 29, 39, …
  • Por una ley de recurrencia: se puede obtener un término a partir de otros anteriores. – Ej: Sabiendo que el primer término de una sucesión es 2, y cada término, salvo el primero, es triple del anterior, escribe los primeros términos de la sucesión. 
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    Se dice que una sucesión de números reales es creciente cuando se verifica que cada término es menor o igual que el siguiente, es decir: 

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    Por el contrario, se dice que una sucesión es decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente: 

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Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números reales en la que la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión es constante. A esta constante se le llama diferencia de la progresión y se suele denotar con la letra d. 

   En una progresión aritmética, donde i es cualquier número natural, se verifica que:

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Es decir, cada término se obtiene sumando al anterior la diferencia, d:

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Dependiendo del valor de la diferencia “d”, nos podemos encontrar con distintos tipos de sucesiones aritméticas. 

  • Si d>0, la sucesión es creciente, es decir, cada término es mayor que los anteriores. 
  • Si d<0, la sucesión es decreciente, siendo cada término menor que los anteriores. 
  • Si d=0, la sucesión es constante y todos sus términos son iguales. 

Por ejemplo: 

Si a1=3 y d=2, ¿Cuales serán los cinco primeros términos de la progresión aritmética?

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Término general de una progresión aritmética

Al igual que ocurre con las sucesiones, una progresión queda perfectamente definida si conocemos su término general. Ahora bien, si quisiéramos hallar el término 50, resultaría muy incómodo su cálculo hallando todos los números, por lo tanto, nos interesa encontrar la expresión del término general. 

   Con los valores de a1 y d conocidos, y teniendo en cuenta la definición de progresión aritmética, podemos obtener el término general de la misma. 

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De forma general:

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Por lo tanto, el término general de una progresión aritmética es:

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Generalizando este resultado, podemos calcular el término general de una progresión aritmética conociendo d y otro término de la progresión, no necesariamente el primero. 

   Más general, siendo ak el término de la progresión que ocupa el lugar k, el término general de una progresión aritmética es: 

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Dependiendo de los datos que tengamos, podemos calcular el término general de una progresión aritmética de una manera u otra, ya que: 

  • Si conocemos a1 y d, podemos aplicar:
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  • Si conocemos un término cualquiera ai y d, podemos usar:
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  • Si conocemos dos términos cualesquiera ar y as, mediante las ecuaciones: 
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      podemos despejar d en función de r, s, ar y as y por tanto, nos queda:

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Por ejemplo: 

Sabiendo que a10=24 y d=3; hallar el valor de a40.

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Interpolación de n medios aritméticos

Llamamos interpolar “h medios aritméticos” entre dos números dados “p y q” a intercalar h términos entre p y q de manera que estén en progresión aritmética, siendo p y q los extremos.

p …………….. (h términos) ………………… q

Por ejemplo: 

En el caso de la progresión aritmética: 2, a, b, c, 14

Vemos que a1 = 2 y a5 =14 y por lo tanto el valor de p es el primer valor y q será el término h+2.

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 La diferencia de la progresión se halla despejando d de la expresión general

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De donde: 

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Conocida la diferencia se obtiene fácilmente los medios aritméticos, que serán:

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Suma de los términos consecutivos de una progresión aritmética limitada

Ya que las progresiones aritméticas tienen infinitos términos, podemos realizar la suma de los términos consecutivos de una progresión aritmética limitada de la siguiente manera: 

Sea la progresión aritmética limitada:

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La suma de estos n términos será:

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Y también:

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Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores resulta: 

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Agrupando y finalmente despejando nos queda: 2Sn = (a1 + an)n

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Por lo tanto, la suma de los términos de una progresión aritmética limitada es igual a la semisuma de los extremos por el número de términos. 

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que el cociente entre cada término y el anterior es constante. A esta constante se denomina razón de la progresión y se suele denotar con la r. Es decir, que siendo i un número natural y siempre que ai sea distinto de cero, el valor de r es: 

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O lo que es lo mismo, cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón r:

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Término general de una progresión geométrica

Una progresión geométrica, por ser una sucesión, queda totalmente definida si conocemos su término general. Vamos a obtenerlo sin más que aplicar la definición de progresión geométrica: 

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Por lo tanto, el término general de una progresión geométrica es:

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Generalizando este resultado, podemos calcular el término general de una progresión geométrica conociendo r y otro término de la progresión, no necesariamente el primero. Siendo ak el término de la progresión que ocupa el lugar k, el término general de una progresión geométrica es:

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Dependiendo del valor de r, nos podemos encontrar con distintos tipos de progresiones geométricas: 

  • Si r >1, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que los anteriores. {2, 4, 8, 16…}
  • Si 0< r <1, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que los anteriores. {90, 30, 10,…}
  • Si r <0, la progresión es alternada, es decir, sus términos van cambiando de signo según el valor de n. {-2, 4, -8, 16…}
  • Si r = 0, la progresión es la progresión formada por ceros a partir del segundo término. {7, 0, 0, 0,…}
  • Si r = 1, la progresión es la progresión constante formada por el primer término.{2, 2, 2, 2,…}

Dependiendo de los datos que tengamos, podemos calcular el término general de una progresión geométrica de una manera u otra: 

  • Si conocemos a1 y r, podemos aplicar: an = a1 · r n-1
  • Si conocemos un término cualquiera ak y r, podemos usar: an = ak · r n-k. 
  • Si conocemos dos términos cualesquiera ap y aq, con ap no nulo, nos falta conocer la razón r para poder aplicar la razón anterior. Pero sabemos que: an = ap · r n-p   y   an = aq · r n-q . Podemos despejar r en función de p, q, ap y aq y nos queda finalmente:  
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Producto de los términos de una progresión geométrica

En una progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes es constante. Es decir, si los subíndices naturales p, q, t y s verifican que p+q = t+s, entonces: ap · aq = at · as ya que: 

ap·aq = a1 · rp-1·a1 · rq-1 = a12 ·rp-1 ·rq-1 = a12 · rp+q-2

at·as = a1 · rt-1·a1 · rs-1 = a12 ·rt-1 ·rs-1 = a12 · rt+s-2

Y como: p+q = t+s, entonces: ap · aq= at · as

Podemos calcular el producto de los n términos de una progresión geométrica, Pn. Es decir: 

Pn= a1 · a2 · a3 ·……….· an-2 · an-1 · an

Aplicando la propiedad conmutativa del producto, tenemos que: 

     Pn = an · an-1 · an-2 · ……..· a3 · a2· a1

Multiplicando estas dos igualdades, tenemos: 

     Pn2 = (a1 · a2· a3·………· an-2· an-1·an) · (an· an-1· an-2·……· a3 · a2· a1)

     Pn2 = (a1 · an) · (a2· an-1) · (a3· an-2)·……· (an-2 · a3) · (an1 · a2) · (an·a1)

Como se observa, los subíndices correspondientes a cada par de términos entre paréntesis suman n+1, por lo que el producto será siempre el mismo en cada factor, entonces: Pn2 = (a1 · an)n

El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica viene dado por: 

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Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, siempre que r sea distinto de 1, viene dada por: 

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Según los valores de r, el valor de Sn será: 

  • Si |r| > 1, los términos en valor absoluto crecen indefinidamente y el valor de Sn viene dado por la fórmula anterior. 
  • Si |r| < 1, la suma de sus términos cuando n es grande, Sn se aproxima a a/(1-r), ya que si en 
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    elevamos la razón |r|<1 a una potencia, cuanto mayor sea el exponente n, menor será el valor de rn y si n es suficientemente grande, rn se aproxima a 0. Por eso, 

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  • Si r = – 1, los términos consecutivos son opuestos: {a1, -a1, a1, -a1, ….} y Sn es igual a cero si n es par, e igual a a1 si n es impar. La suma de la serie oscila entre esos dos valores. 

Pero, ¿podríamos sumar un número ilimitado de términos consecutivos de una progresión geométrica? Dependiendo del valor de r será posible o no obtener la suma de un número ilimitado de términos: 

  • Si r = 1, la progresión es la progresión constante formada por el primer término: {a1, a1, a1, a1, …} y si a1 es positivo, la suma de los términos será cada vez mayor (si fuera a1 negativo sería la suma cada vez mayor en valor absoluto, pero negativa). Por tanto, si el número de términos es ilimitado, esta suma será infinita. 
  • Si |r| > 1, los términos crecen indefinidamente y el valor de Sn para un número ilimitado de términos, también será infinito. 
  • Si |r| < 1, la suma de sus términos se aproxima cuando n es grande a a1/(1-r)
  • Si r = -1, los términos consecutivos son opuestos: {a1, -a1, a1, -a1, … } y Sn es igual a cero si n es par, e igual a a1 si n es impar. La suma de la serie oscila entre esos dos valores para un número finito de términos. Para un número de términos ilimitado no sabemos si es par o impar, con lo que la suma no se puede realizar a no ser que a1=0, caso en que S = 0 = a1/(1-r). En el resto de los casos decimos que la suma de infinitos términos no existe pues su valor es oscilante. 
  • Si r < -1, los términos oscilan entre valores positivos y negativos, creciendo en valor absoluto. La suma de sus infinitos términos no existe pues su valor también es oscilante. 

Por lo tanto, podemos afirmar que la suma de un número ilimitado de términos de una progresión geométrica sólo toma un valor finito si |r| < 1, y entonces viene dada por:

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En el resto de los casos, o vale infinito, o no existe pues oscila. 

Por ejemplo: 

Calcula la suma de todos los términos de la progresión geométrica cuyo primer término es 4 y la razón es 1/2.

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Aplicaciones de las progresiones geométricas

Fracción generatriz

Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, “fracción generatriz” de la siguiente manera:

    • Cálculo de la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura. Tratamos de encontrar una fracción tal que al dividir el numerador entre el denominador nos dé el número de partida. Es decir:
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      Observamos que se trata de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica ilimitada de razón 1/100. Por lo tanto: 

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Cálculo de la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta. En este caso lo más fácil es descomponer la expresión como suma de las dos expresiones decimales. Es decir:

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Capitalización compuesta

Si depositamos en una entidad financiera una cantidad de dinero C0 durante un tiempo t y a un crédito r dado en tanto por uno, obtendremos un beneficio conocido como interés, y dado por la fórmula:

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 La principal característica de la capitalización compuesta es que los intereses que se generan en un año, pasan a formar parte del capital inicial y producen intereses en los periodos siguientes. 

   El capital final obtenido después de n años dado un capital inicial C0 y un crédito r dado en tanto por uno, es: 

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