Teoría Radicales

Radicales

 

Los Radicales son expresiones de la forma:

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En la que n Є N y a Є R; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

n = índice; a = radicando; m = exponente.

 

Un radical se puede expresar en forma de potencia, y por consiguiente, una potencia en forma de radical de la siguiente manera:

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Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si multiplicamos numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos un radical equivalente al original.

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Dicho de otro modo, si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente del radicando, se obtiene un radical simplificado.

¿Cómo reducir a índice común?

En primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. Seguidamente, dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Ejemplo:

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Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

  • Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
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  • Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
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  • Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El coeficiente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando
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Para introducir factores en un radical, los elevamos al índice correspondiente.

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Respecto a la suma o resta de radicales, solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

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Para multiplicar o dividir radicales hay que tener en cuenta si son del mismo o diferente índice. En el caso de multiplicaciones con el mismo índice, se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

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En el caso de la división, se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

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Si por el contrario, las raíces son de distinto índice, se debe reducir a índice común y posteriormente multiplicarlas o dividirlas según sea la operación a realizar.

Cuando tenemos un radical elevado a una potencia, debemos elevar el radicando, dejando el mismo índice de la raíz.

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Si por el contrario, la operación que debemos realizar es una raíz de un radical, el resultado es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el produto de los dos índices.

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¿En qué consiste la racionalización?

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma (o resta) de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

 

1.- Racionalización del tipo:

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Se multiplica el numerador y el denominador por

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2.- Racionalización del tipo:

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Se multiplica numerador y denominador por

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3.- Racionalización del tipo:

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Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

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También tenemos que tener en cuenta que: suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

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