Probabilidad

Con frecuencia utilizamos en el lenguaje corriente la palabra probabilidad; así, por ejemplo: “Es probable que mañana no pueda venir”. 

   Cuando decimos este tipo de frases, queremos expresar que no estamos totalmente seguros de la afirmación, pero que tenemos cierta confianza de que así se produzca. Como es lógico, lo que a nosotros nos interesa es ver si estas situaciones las podemos matematizar de alguna forma. 

   Durante mucho tiempo se pensó que era improbable tratar desde un punto de vista matemático estas situaciones; incluso parece difícil establecer una cronología histórica del desarrollo del concepto de probabilidad, aún cuando sin duda su origen se debió a los juegos de azar. 

   Es importante destacar que el concepto de probabilidad, como cualquier otro concepto matemático, es una elaboración del pensamiento en que cada generación edifica sus esfuerzos sobre los pilares construidos por sus predecesores. 

 

Sucesos

Al repetir un mismo experimento en igualdad de condiciones, es posible obtener siempre el mismo resultado, o bien, que este sea imprevisible. En el primer caso, decimos que el experimento es determinista, mientras que en el segundo caso, podemos afirmar que es aleatorio. 

   El primer paso que hay que efectuar para estudiar un experimento aleatorio consiste en determinar el conjunto de resultados posibles. A cada uno de ellos lo llamamos suceso elemental. 

   Al conjunto de todos los resultados posibles lo denominamos espacio muestran y lo representamos por la letra E, o por la letra griega Ω .

Por ejemplo: en el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y observar su puntuación, el espacio muestra es: 

Ω = {1,2,3,4,5,6}

Consideremos ahora la situación A: Obtener un número par. Podemos expresarla mediante el conjunto A: {2,4,6}, que es un subconjunto de Ω.

   Llamamos suceso a cualquier subconjunto de Ω, es decir, a cualquier conjunto de resultados posibles. A los sucesos los representamos mediante letras mayúsculas, y decimos que un suceso se cumple u ocurre al realizar un experimento aleatorio si el resultado obtenido forma parte de dicho suceso. 

 

Suceso seguro y seguro imposible

De entre los sucesos que podemos considerar al realizar un experimento aleatorio, hay algunos que poseen características especiales. 

   Si estudiamos estos sucesos tomando como ejemplo el lanzamiento de un dado vemos que: 

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Operaciones con sucesos

Las operaciones habituales que podemos realizar con los subconjuntos del espacio muestra Ω, son:

  • Unión: Llamamos unión de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A o en B. Se representa por A U B y se cumple si se cumplen A o B.
  • Intersección: Llamamos intersección de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A y en B a la vez. Se representa por A Π
  •  B y se cumple si se cumplen simultáneamente A y B.
  • Diferencia: Llamamos diferencia entre el suceso A y el suceso B al suceso formado por todos los resultados que están en A, pero no en B. Lo representamos como A-B y se cumple si se cumple A pero no se cumple B.
  • Complemento: Llamamos complemento o contrario del suceso A y se representa por Ā al suceso formado por todos los resultados del experimento que no están en A, es decir, a la diferencia Ω-A. El suceso Ā se cumple si no se cumple A.

A modo de esquema podemos ver las distintas operaciones juntas: 

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Las operaciones anteriormente comentadas cumplen las siguientes propiedades: 

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Sucesos compatibles y sucesos incompatibles

Dos o más sucesos son compatibles, si pueden cumplirse simultáneamente; es decir, si tienen al menos un resultado común. Por el contrario, son incompatibles o mutuamente exclusivos y su intersección es el conjunto vacío Ø.

   Si de nuevo nos centramos en el experimento de lanzar un dado. Los sucesos: 

A = {2,3} B = {1,2} C = {4,5}

cumplen lo siguiente: 

A y B son compatible, y B y C son incompatibles, B Π C = Ø

Podemos afirmar que tres o más sucesos son incompatibles dos a dos si es incompatible cualquier pareja que se pueda formar entre ellos”.

 

Sistema completo de sucesos

Si en el experimento del lanzamiento del dado, los sucesos: 

G = {1,2,3} H = {4,5} I = {6}

cumplen lo siguiente: 

– Su unión es el espacio muestral: G U H U I = Ω

– Son incompatibles en pares:  G Π H = Ø, G Π I = Ø,  H Π I = Ø decimos que G, H e I forman un sistema completo de sucesos. 

Si Ω es el espacio muestral de un experimento aleatorio, los sucesos A1, A2,….An forman un sistema completo de sucesos solo si se cumplen las siguientes condiciones: 

  • A1 U ….. U An = Ω
  • A1, ….., An son incompatibles dos a dos.

 

Probabilidad

Inicialmente, nos referimos a la probabilidad como una medida del grado de certeza sobre la ocurrencia de un suceso o no. Recordemos las definiciones experimental y axiomática de la probabilidad. 

 

Definición experimental

Efectuamos varias series de N realizaciones de un experimento aleatorio: 

– Al número de veces que se cumple un suceso A en cada una de ellas lo llamamos “frecuencia absoluta de A” y se simboliza por nA. 

– Al cociente entre las frecuencias absolutas y el número de realizaciones, N, del experimento lo llamamos “frecuencia relativa del suceso A” y se simboliza por fA. 

   A medida que aumenta el número de realizaciones del experimento, las frecuencias relativas de un suceso tienden hacia un cierto valor. Esta propiedad nos permite por lo tanto, afirmar que:

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Definición axiomática

Aunque la definición experimental parece satisfacer la intuición, tiene una serie de inconvenientes: 

  • Sería necesario repetir infinitas veces el experimento para conocer el límite de las frecuencias relativas, lo que no es factible. 
  • Nada nos asegura que la regularidad de las frecuencias relativas sea cierta para cualquier número de repeticiones del experimento. 

   Para superar estos problemas, damos una definición axiomática de la probabilidad de un suceso, matemáticamente mucho más rigurosa. 

Dado el espacio muestral Ω asociado con un experimento aleatorio, llamamos probabilidad a una función: 

P : P(Ω)→ℜ  A → P(A)

La cual asocia a cada suceso A un número real llamado probabilidad de A, P(A), y que cumple las siguientes afirmaciones o axiomas: 

  • La probabilidad de cualquier suceso A es positiva o cero: P(A) ≥ 0
  • La probabilidad del suceso seguro vale 1: P(Ω) = 1
  • La probabilidad de la unión de un conjunto (finito o infinito) de sucesos incompatibles dos a dos, A1, …, Ai,…, es la suma de las probabilidades de los sucesos:
    P(A1 U A2 U ….U An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

 

Propiedades de la probabilidad

Las principales propiedades de la probabilidad son: 

  • Las probabilidades de los sucesos A y Ā suman 1:  P(A) + P(Ā) = 1
  • La probabilidad de un suceso A contenido en otro suceso B es menor o igual que la probabilidad de B: A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
  • La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles A y B es la suma de sus probabilidades menos la de su intersección: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A Π B)

Probabilidad condicionada

En ocasiones, el poder tener información previa sobre un suceso hace que varíe su probabilidad. 

Por ejemplo: En un centro escolar con N estudiantes, donde no tienen ordenador y nm son chicas. Al elegir un estudiante al azar, estamos interesados en dos sucesos: 

  • escoger un estudiante que tenga ordenador.
  • escoger una chica. 

 

Propiedades de la probabilidad condicionada

 Las principales propiedades de la probabilidad condicionada son: 

    • Si un suceso B está contenido en un suceso C, entonces la probabilidad de B dado A es menor o igual que la probabilidad de C dado A. B ⊂ C ⇒ P(B | A) ≤ P(C | A)
    • Si un suceso B está contenido en otro suceso A, entonces la probabilidad del suceso B dado A es el cociente entre la probabilidad del suceso B y la probabilidad del suceso A. B ⊂ A ⇒ P(B | A) = P(A)/P(B)
    • Si un suceso A está contenido en otro suceso B, entonces la probabilidad del suceso B dado A es igual a uno. A ⊂ B ⇒ P(B | A) = 1

Estas propiedades son consecuencia inmediata de las propiedades de la probabilidad y de la definición de “probabilidad condicionada”. 

 

Sucesos dependientes y sucesos independientes

Al lanzar dos veces un dado, el hecho de que se verifique o no obtener un número par en el primer lanzamiento, no influye la obtención de un número impar en el segundo lanzamiento o viceversa. En este caso, la probabilidad de que ocurra un suceso no está condicionado a que ocurra el otro. Por lo tanto: 

P(A | B) = P(A); P(B | A)  = P(B)

A partir del principio de la probabilidad compuesta, podemos afirmar que:

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Teorema de Bayes

Este teorema, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático Thomas Bayes en el que expresa que a partir de que ha ocurrido un suceso B podemos deducir las probabilidades del suceso A. 

Por ejemplo: Tenemos tres urnas: 

  • A con 3 bolas rojas y 5 negras
  • B con 2 bolas rojas y 1 negra
  • C con 2 bolas rojas y 3 negras
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Escogemos al azar una de las urnas y extraemos una sola bola. Si la bola sacada es roja, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido al azar la urna A?

   Si llamamos R a sacar una bola roja y N a sacar una bola negra, la probabilidad de haber elegido la urna A al azar es P(A|R), que utilizando el “teorema de Bayes” nos quedaría: 

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Variables aleatorias

Si consideramos ahora el experimento aleatorio de lanzar dos monedas (cada una de ellas con una cara (c) y una cruz (+). El espacio muestral de este experimento es: 

Ω = [(c, c), (c, +), (+, c), (+, +)]

Podemos asignar un valor numérico a cada uno de los resultados posibles, como es por ejemplo, el número de caras obtenidas. Esta asignación define una función del espacio muestral en el conjunto de los números reales. 

   A las funciones definidas de esta forma, las denominamos variables aleatorias, y se representan mediante X, por lo tanto: 

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Tipos de variable aleatoria

Una variable aleatoria es una función, por lo que tiene un dominio y un recorrido. El dominio es el espacio muestral Ω asociado con un experimento aleatorio y el recorrido es un subconjunto de R. 

Las variables aleatorias que hemos considerado hasta ahora sólo toman valores dentro de un conjunto finito de elementos: {0,1,2}, {-1,1},… por lo que diremos que se trata de variables aleatorias discretas. 

   Si por ejemplo, realizamos ahora el experimento de elegir un estudiante de clase al azar y la variable aleatoria que asigna a cada uno de ellos es su altura, dicha variable puede tomar, en principio, cualquier valor dentro de un intervalo del conjunto de los números reales R, por lo que diremos que se trata de una variable aleatoria continua, ya que su recorrido es uno o varios intervalos de R. En caso contrario, diremos que es discreta. 
 

 

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