Números reales y complejos

 La unión de los números racionales y los irracionales conforma un conjunto denominado de los números reales. Si recordamos los distintos tipos de conjuntos numéricos, vemos que tenemos: 

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Los números racionales también contienen a los números enteros que tienen expresión decimal exacta (0,123) y a los que tienen expresión decimal periódica (7,01252525…). Si el denominador de la fracción irreducible solo tiene como factores primos potencias de 2 o 5, la expresión decimal es exacta. Si el denominador de la fracción irreducible tiene algún factor primo que no sea ni 2 ni 5, la fracción tendrá una expresión decimal periódica. Por lo tanto, todas las fracciones tienen expresión decimal exacta o periódica; y toda expresión decimal exacta o periódica se puede escribir en forma de fracción. 

   Existen otros números que no son racionales, como es el caso √2, o π, que no pueden ponerse como fracción, por lo que estos números, junto a los racionales forman el conjunto de los números reales. A los números reales que no son números racionales se les llama irracionales, cuya expresión decimal es de infinitas cifras no periódicas. 

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La recta real

   Los números reales son densos, es decir, entre cada dos números reales hay infinitos números. Todo número real ocupa una posición en la recta numérica y al revés, todo punto de la recta se puede hacer corresponder con un número real. 

   Elegido el origen de coordenadas y el tamaño de la unidad (o lo que es igual, si colocamos el 0 y el 1) todo número real ocupa una posición en la recta numérica y al revés, todo punto cerca de la recta se puede hacer corresponder con un número real.

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Valor absoluto

   El valor absoluto o módulo de un número, equivale al valor de ese número ignorando el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de -1 es 1, y el valor absoluto de +1 también es 1. 

   En lenguaje formal, el valor absoluto se define mediante el símbolo │x│y su representación en un eje de coordenadas resulta: 

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Intervalos

   Un intervalo de números reales es un conjunto de números correspondientes a una parte de la recta numérica, en consecuencia, un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales. Hay varios tipos de intervalos: 

  • Intervalo abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos. Gráficamente lo representamos en la recta real de la siguiente manera: 
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  • Intervalo cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo. En este caso las desigualdades no son estrictas. 
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  • Intervalo semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de estos, forman parte del intervalo. 
  • Intervalo semiabierto por la izquierda: el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras: siendo el extremo que queda fuera del intervalo una desigualdad estricta. 
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  • Intervalo semiabierto por la derecha: el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras, siendo el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
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Semirrectas reales

   Toda la recta de los números reales es: R= (-∞, ∞) = (S+) U (S-) U (0) pero dentro de ella podemos diferenciar dos semirrectas reales: 

  • Semirrecta de los números positivos: S+ = (0,∞) es decir, desde cero hasta infinito. 
  • Semirrecta de los números negativos: S- = (-∞,0)
    es decir, desde el menos infinito, el infinito negativo, hasta cero. 

Entornos

   Es una forma especial de expresar los intervalos abiertos. Se define el entorno a y radio r y se denota por E(a,r) como el conjunto de números que están a una distancia de a menor que r. 

Por ejemplo: 

  • El entorno de centro 5 y radio 2 son los números que están de 5 una distancia menor que 2. Si lo pensamos un poco, serán los números entre 5-2 y 5+2, es decir, el intervalo (3,7).
    E(5,2) = (3,7) 

 

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Números complejos

Un número complejo se define como una expresión de la forma: 

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Al tipo de expresión: z = x + iy se denomina forma binómica dónde la parte real es el número real x, que se denota Re(z), y la parte imaginaria es el número real y, que se denota por Im(z). Por lo tanto tenemos que: z = Re(z) + iIm(z).

El conjunto de los números complejos es, por tanto;

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Esta construcción permite considerar a los números reales como un subconjunto de los números complejos, siendo real aquel número complejo de parte imaginaria nula. Así, los números complejos de la forma z=x+i0 son números reales y se denominan números imaginarios a los de la forma 0+iy, es decir, con su parte real nula. 

Dos números complejos: 

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Operaciones en forma binómica

   Las operaciones de suma y producto definidas en los números reales se pueden extender a los números complejos. Para la suma y el producto de dos números complejos escritos en la forma binómica: x + iy, u + iv se tienen en cuenta las propiedades usuales del Álgebra con lo que se definen: 

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Se comprueba, de nuevo, que el cuadrado del número complejo i es un número real negativo, -1, pues: 

(0 + i) · (0 + i) = -1 + i·(0) = -1 

   Si los números complejos son números reales, es decir, números complejos con su parte imaginaria nula, estas operaciones se reducen a las usuales entre los números reales ya que: 

(x + i0) + (u + i0) = (x + u) + i(0)      (x + i·0) (u + i0) = (x·u) + i(0)

   Esto permite considerar al cuerpo de los números reales R como un subconjunto de los números complejos, C. El conjunto de los números complejos también tiene estructura algebraica de cuerpo. 

   El conjugado del número complejo z = x + yi, se define como: z’ = x – yi

Representación de los números complejos en el plano

   El desarrollo moderno de los números complejos empezó con el descubrimiento de su interpretación geométrica que fue indistintamente expuesta por John Wallis (1685) y ya de forma completamente satisfactoria por Caspar Wessel (1799). El trabajo de Wessel no recibió ninguna atención, y la interpretación geométrica de los números complejos fue redescubierta por Jean Robert Argand (1806) y de nuevo por Carl Friedrich Gauss (1831). 

   El conjunto de los números complejos con las operaciones de suma y el producto por un número real tiene estructura de espacio vectorial de dimensión dos, y es, por tanto, isomorfo a R2. Una base de este espacio está formada por el conjunto {1,i}.

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Al igual que los números reales representan los puntos de una recta, los números complejos pueden ser puestos en correspondencia biunívoca con los puntos de un plano. Los números reales se representan en el eje de abscisas o eje real, y a los múltiplos de i = √-1 se les representa como puntos del eje imaginario, perpendicular al eje real en el origen. A esta representación geométrica se la conoce como el Diagrama de Argand. El eje y = 0 se denomina eje real y el x = 0, eje imaginario. 

   Como la condición necesaria y suficiente para que x + iy coincida con u + iv es que x = u, y = v, el conjunto de los números complejos se identifica con R2 y los números complejos se pueden representar como puntos del “plano complejo”. El número complejo z = x + iy se corresponde con la abscisa y la ordenada del punto del plano asociado al par (x , y). En unas ocasiones se refiere el número complejo z como el punto z y en otras como el vector z. 

   La suma de números complejos corresponde gráficamente con la suma de vectores. Sin embargo, el producto de número complejos no es ni el producto escalar de vectores ni el producto vectorial. 

   El conjugado de z, z’, es simétrico a z respecto del eje de abscisas. 

Forma trigonométrica de los números complejos

   Podemos diferenciar entre: 

  • Módulo: El módulo de un número complejo se define como: |z| = √x2 + y2, y representa la distancia de z al origen, es decir, la longitud del vector libre (x,y) de R2. Por lo tanto el módulo nunca puede ser un número real negativo. El módulo de un número real coincide con su valor absoluto.
    Otra forma de expresar el módulo de un número complejo es mediante la expresión: |z| = √z.z’, donde z’ es el conjugado de z, siendo el producto de un número complejo por su conjugado igual a: (x + iy)(x – iy) = x2 + y2 un número real y positivo. 
  • Argumento: El argumento de un número complejo z, si  z ≠ 0, representa el ángulo, en radianes, que forma el vector de posición en el semeje de abscisas positivas. Es por tanto cualquier número real θ tal que: 
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       Se tiene entonces que cada número complejo no nulo tiene infinidad de argumentos, positivos y negativos, que se diferencian entre sí en múltiplos enteros de 2π. 

       Si z es igual a cero, su módulo es cero, pero su argumento no está definido. 

       Si se quiere evitar la multiplicidad de los argumentos, se puede seleccionar para θ un intervalo semiabierto de longitud 2π, lo que se llama elegir una arma del argumento; por ejemplo, si se exige que θ  [0,2π), se obtiene el argumento principal de z, que se denota por Arg (z). Si z es un número real negativo, su argumento principal vale π. En ocasiones es preferible utilizar argumentos multivaluados:  

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    Donde Z representa el conjunto de los números enteros. 

       Si se define Arg (z) como arctg (y/x) se tiene una nueva ambigüedad, ya que existen dos ángulos en cada intervalo de longitud 2π de los cuales sólo uno es válido. Por todo ello, las afirmaciones con argumentos deber ser hechas con una cierta precaución, pues por ejemplo la expresión: 

    arg (z·w) = arg (z) + arg (w)

    es cierta si se interpretan los argumentos como multivaluados. 

       Si z es distinto de cero, z’ verifica que |z’| = |z| y que Arg(z’) =  – Arg (z)

Propiedades del módulo, del conjugado y del argumento de un número complejo

Algunas propiedades del conjugado y del módulo de un número complejo son: 

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Forma polar y forma trigonométrica

  Si ρ es igual al módulo del número complejo no nulo z y θ es un argumento de z, entonces (ρ , θ) son las coordenadas polares del punto z. El número complejo z en forma polar se escribe: 

   La conversión de coordenadas polares en cartesianas y viceversa se hace mediante las expresiones: 

x = ρcosθ ,  y = ρsenθ , por lo que z = x + iy = ρ (cosθ + isenθ)

   La forma trigonométrica de dicho número complejo es: z = ρ (cosθ + isenθ), la cual es válida incluso en el caso de que z=0, ya que entonces ρ=0, por lo que se verifica para todo θ.
 

 

 

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