Elasticidad y Fractura

Cuando un objeto está en reposo, podemos pensar que no es interesante su estudio ya que no tienen velocidad ni aceleración y porque las fuerzas que sobre él actúa son cero. 

   Pero esto no implica que no haya ninguna fuerza que actúe sobre los objetos. De hecho, es virtualmente imposible encontrar un cuerpo sobre el cual no actúe ninguna fuerza. En algunas ocasiones las fuerzas pueden ser tan grandes que el objeto se ve seriamente deformado e incluso puede fracturarse (romperse); evitar este tipo de problemas ha hecho que el campo de la estática adquiera gran importancia. 

   Los objetos con los que estamos en contacto todos los días tienen cuando menos una fuerza que actúa sobre ellos (la gravedad) y, si están en reposo, debe por tanto haber otras fuerzas que actúen sobre ellos para que la fuerza neta sea cero. 

Por ejemplo: un objeto que descansa sobre una mesa tiene dos fuerzas que actúan sobre él: la fuerza de la gravedad, hacia abajo, y la fuerza que ejerce la mesa, hacia arriba. 

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Puesto que la fuerza neta es cero, la fuerza hacia arriba ejercida por la mesa debe tener igual magnitud que la fuerza de gravedad que actúa hacia abajo. 

   “ Se dice que un cuerpo está en equilibro cuando se encuentra bajo la acción de esas dos fuerzas ”. 

La determinación de estas fuerzas, permite, entonces, determinar si las estructuras pueden soportar las fuerzas sin deformarse significativamente o fracturarse. Las técnicas para ello se pueden aplicar en una gran variedad de campos. Los arquitectos e ingenieros deben poder calcular las fuerzas que actúan sobre los componentes estructurales de los edificios, puentes, máquinas, vehículos y demás estructuras, ya que cualquier material puede romperse o deformarse si se le aplica una fuerza muy grande. 

Condiciones para el equilibrio

Para que un cuerpo esté en reposo, la suma de las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero. Puesto que la fuerza es un vector, las componentes de la fuerza neta deben ser cero. Por tanto, si las fuerzas sobre el objeto actúan en un plano, una condición para el equilibrio es que: 

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Si las fuerzas actúan en tres dimensiones, entonces también el tercer componente deberá ser cero.

   Aunque las ecuaciones anteriores deben ser válidas para un objeto que esté en equilibrio, no son una condición suficiente. La siguiente figura nos muestra un objeto sobre el cual la fuerza neta es cero.

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Si bien las dos fuerzas, identificadas en los bloques, suman una fuerza neta cero, dan lugar a una toca que hará girar el objeto. Por lo tanto matemáticamente, “para el caso de fuerzas coplanares, se debe cumplir que la suma aritmética de los momentos relacionados con rotaciones anti-horarias debe ser igual a la suma aritmética de los momentos relacionados con rotaciones horarias”. Es decir, se debe cumplir que: 

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Estabilidad y equilibrio

Un cuerpo en equilibrio estático, si no es perturbado, no sufre aceleración de traslación o de rotación, porque la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él son cero. Sin embargo, si dicho cuerpo se desplaza ligeramente, son posibles tres resultados: 

  • Que regrese a su posición original, en cuyo caso se dice que está en equilibrio estable como por ejemplo una pelota colgada libremente de un hilo que desplazamos hacia un lado, volverá rápidamente a su posición original. 
  • Que se aparte más de su posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio inestable como por ejemplo un lápiz sostenido sobre su punta. 
  • Que permanezca en su nuevo posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio neutro o indiferente. 

En la mayor parte de los casos, como en el diseño de estructuras y en el trabajo con el cuerpo humano, nos interesa mantener un equilibrio estable o balance, como decimos a veces. En general, un objeto cuyo centro de gravedad está debajo de su punto de apoyo, como una pelota sujeta de un hilo, estará en equilibrio estable. El punto crítico se alcanza cuando el centro de gravedad ya no cae sobre la base del soporte. En general, un cuerpo suyo centro de gravedad está arriba de su base de soporte, estará en equilibrio estable si una línea vertical proyectada desde su centro de gravedad pasa por la base de soporte. Esto se debe a que la fuerza hacia arriba sobre el objeto, la cual equilibra la gravedad, sólo se puede ejercer dentro del área de contacto, de modo que si la fuerza de gravedad actúa más allá de esa área habrá una fuerza neta que volteará el objeto. 

   En este sentido, los seres humanos son mucho menos estables que los mamíferos cuadrúpedos, los cuales no sólo tienen mayor base de soporte por sus cuatro patas, sino que tienen un centro de gravedad más bajo. 

 

Elasticidad; esfuerzo y deformación unitaria

Todo objeto cambia de forma bajo la acción de las fuerzas aplicadas. Si las fuerzas son lo suficientemente grandes, el objeto se romperá o fracturará. 

   Si se ejerce una fuerza sobre un objeto, como por ejemplo la barra metálica colgada verticalmente que podemos ver a continuación, su longitud cambiará. La cantidad de alargamiento, o elongación, ∆L, es proporcional al peso o fuerza que se ejerce sobre el objeto.

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Esta proporcionalidad se puede escribir en forma de ecuación, lo cual se conoce como: “Ley de Hooke”.

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Donde:

  • F representa la fuerza o peso que tira del objeto
  • ∆L es el aumento de longitud 
  • k es una constante de proporcionalidad

   Si la fuerza es demasiado grande, el objeto se alargará demasiado y finalmente se romperá. 

A medida que aplicamos una fuerza sobre un sólido, éste comienza a alargarse encontrándose en su zona ó región elástica, hasta un punto llamado límite de proporcionalidad. Si antes de alcanzar dicho punto la fuerza cesa, el objeto regresará a su longitud original, alcanzando en este punto el límite elástico del sólido. Si el objeto se estira más allá entra en la región plástica, donde no regresará a su longitud original al retirar la fuerza aplicada, sino que permanecerá deformado de manera permanente. El alargamiento máximo se alcanza en el punto de ruptura. La fuerza máxima que se puede aplicar sin ruptura está determinada por la resistencia máxima del material.

   La cantidad de alargamiento de un objeto no sólo depende de la fuerza aplicada, sino también del material con que está fabricado y sus dimensiones.

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 Si comparamos barras hechas del mismo material, pero de distintas longitudes y áreas transversales, encontraremos que para la misma fuerza aplicada la cantidad de alargamiento será proporcional a la longitud original e inversamente proporcional al área de la sección transversal. Es decir, mientras más largo sea el objeto, más se alargará para una determinada fuerza; y mientras más grueso sea, menos se alargará.

Estos hallazgos experimentales se pueden combinar con la ecuación de la Ley de Hooke para obtener la expresión:

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Donde:

  • L0  es la longitud original del objeto
  • A es el área de su superficie transversal  
  • ∆L es el cambio de longitud debido a la fuerza aplicada
  • E es una constante de proporcionalidad llamada “módulo de elasticidad o módulo de Young” y su valor depende sólo del material 

   Puesto que E es una propiedad única del material y es independiente del tamaño o la forma del objeto, se trata de una constante muy útil para cálculos prácticos, tal y como podemos ver en la siguiente tabla para distintos materiales. 

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Como ya hemos visto, el cambio de longitud de un objeto es directamente proporcional al producto de su longitud L0 por la fuerza aplicada por unidad de área. Es común definir la fuerza por unidad de área como esfuerzo cuyas unidades son N/m2:

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Asimismo, la deformación unitaria se define como la relación entre el cambio de longitud y la longitud original:

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La deformación unitaria es, entonces el cambio fraccionario de longitud de un objeto, y es una medida de cuanto se ha deformado el sólido. Por lo tanto, podemos afirmar que:

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O bien:

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Vemos así que la deformación unitaria es directamente proporcional al esfuerzo. 

   Las fuerzas externas aplicadas a un objeto dan lugar a fuerzas internas, o esfuerzos, dentro del material mismo. La deformación debida a la tensión es tan sólo un tipo de esfuerzo al que se pueden someter los materiales. 

Hay otros dos tipos comunes de esfuerzo: 

  • el esfuerzo de compresión 
  • el esfuerzo cortante

   El esfuerzo de compresión es el opuesto exacto al esfuerzo de tensión. En lugar de estirarse, el material se comprime: las fuerzas actúan hacia el interior del cuerpo. 

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El esfuerzo cortante es aquel en el que el objeto sufre fuerzas iguales y opuestas aplicadas en caras opuestas, por ejemplo, un libro fijo en una mesa sobre la cual se ejerce una fuerza paralela a su superficie superior. La mesa ejerce una fuerza igual y opuesta en la cara inferior. Aunque las dimensiones del objeto no cambian apreciablemente, su forma cambia. 

Para calcular el esfuerzo cortante se puede usar la ecuación: 

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Donde:

  • A es el área de la superficie paralela a la fuerza aplicada 
  • ∆L es perpendicular a L0
  • G es una constante de proporcionalidad llamada “módulo de corte”, y en general corresponde a la mitad o a la tercera parte del módulo de elasticidad, E.

 

Fractura

Si el esfuerzo sobre un objeto sólido es demasiado grande, el objeto puede fracturarse o romperse. 

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A continuación podemos ver las resistencias máximas de diversos materiales a la tensión, la compresión y el corte. 

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Se trata de las fuerzas máximas por unidad de área que puede resistir un objeto bajo cada uno de estos tres tipos de esfuerzo. Sin embargo, sólo son valores representativos y el valor real para un determinado sólido puede ser muy distinto. 

 

 

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